오일러 등식

$e^{\pi i}+1=0 \\ e^{\pi i} = {\rm cis}(\pi) =-1 \\ e^{\tau i} = {\rm cis}(\tau) =1$ [1][2]

오일러의 저서 《무한에 대한 연구 개론》(Introductio in analysin infinitorum, 1748)에 수록된 등식 중 하나다.

수학계에서 '​이 세상의 어떤 다이아몬드보다 멋지고, 어떤 보물보다 진귀한 등식'이라는 평가를 받는 등식이다. 상식적으로 별 상관이 없어 보이는 원주율과 허수 단위와 자연로그의 밑 $e$가 더하기,곱하기,거듭제곱으로 만나 딱 떨어지는 정수를 만들어낸다는 것이 많은 사람들의 경외감을 불러일으킨다.

오일러의 공식인 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$에 $x=\pi$ 또는 $x=\tau$[3] 를 대입하면 유도 끝.

$\pi$ 이용: $\cos\pi=-1$, $\sin\pi=0$이므로[A] $e^{\pi i}=-1$. 우변의 $-1$을 이항하면 $e^{\pi i}+1 = 0$.

$\tau$ 이용: $\cos\tau=1$, $\sin\tau=0$이므로[A] $e^{\tau i}=1$.

$2\pi$마다 값이 반복되는 각도의 특성상 $e^{\pi i} = -1$은 사실 특수해에 불과하고 본래는 $e^{\left(\pi+2n\pi\right)i} = -1$이다. 그래서 복소로그함수를 이용하여 복소수 범위의 로그값을 구할 때 함부로 이 등식을 써서는 안 되며, 적어도 각의 범위를 명시해주어야 한다. 이를 테면 $\ln\left(-1\right) = \left(2n+1\right)\pi i$로 $\pi i$뿐만 아니라 $3\pi i$, $-\pi i$ 등 값이 여러 개가 되기 때문에 함수가 되지 않는다.

물리학에 익숙한 위키러라면 직관적으로 이해할 수 있는 좋은 방법이 있는데, $e^{ix}$를 변위로 놓고 미분하여 속도와 변위의 관계를 분석하는 방법이다. $\dfrac d{dx}e^{ix} = ie^{ix}$가 되는데, 복소 평면에서 $i$를 곱한다는 건 복소 벡터를 $90^\circ$ 반시계 방향으로 회전하는 것과 같다. 변위 벡터와 속도 벡터가 직각을 이루면 원운동을 하는 것이므로 $e^{ix}$의 자취는 원을 그리게 되는데, $x$란 복소 평면에서 양의 실수축을 기준으로 반시계방향으로 얼마나 많은 각도(라디안)로 회전했는가를 나타낸다. 따라서 $x=\pi$면 $180^\circ$ 돈 셈이며, 여기에 있는 건 다름 아닌 $-1$이다.

아래에 있는 식 중 $\mathrm{Log}\,z$는 밑이 $e$이면서 복소수 $z$의 편각 $\arg z$의 범위가 $\left(-\pi,~\pi\right]$인 복소로그함수이다.[6] 이에 관한 내용은 해당 문서 참조.
$\tau = 2\pi$이므로 아래에는 $\pi$를 사용한 식만 썼다.

수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 수학사상 가장 유명한 동시에 영역이 달랐던 다섯 가지 수인 $0$, $1$(산술), 자연로그의 밑 $e$(해석학), 원주율(기하학), 그리고 허수 단위 $i$(대수학)가 모두 들어가 있으며, 수학에서 가장 기초가 되는 사칙연산, 지수 연산 그리고 등호가 모두 쓰인다.

리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"이라고 불렀다.[8]

카를 프리드리히 가우스는 "이 식이 곧바로 이해되지 않는 학생이라면, 1급 수학자가 되긴 틀린 것"이라고 했다.

SF 소설가 테드 창은 이 식을 보며 "마치 절대적인 진리의 편린을 목격한 듯한 외경심을 느낀다"고 했다.

아름다움은 주관적인 개념이므로 얼마든지 다른 수식이 더 아름답다고 생각할 수도 있다. 일단 오일러의 공식 자체부터 지수와 삼각함수를 연결한다는 점에서 더 아름답다는 의견이 있으며, 모든 대수의 기본이 된다는 점에서 $1+1=2$가 가장 아름답다는 의견도 많다.

$\pi$보다 $\tau=2\pi$가 수학적으로 간명하며 보다 근원에 가까운 상수라고 주장하는 새원주율 지지자들은 식 $e^{\tau i}=1$ 쪽을 선호한다. '단위원 반 바퀴'를 의미하는 $e^{\pi i}=-1$보다 '단위원 한 바퀴'를 나타내는 $e^{\tau i}=1$ 쪽이 더 두 상수의 원래 관계에 가깝다는 것. 또한 $e^{\pi i}=-1$에서 억지로 $-1$을 이항하여 $0$과 $1$을 식에 포함시키고 '세 가지 연산, 가장 중요한 다섯 상수가 들어갔으니 아름답다'고 주장하는 데도 거부감을 드러내며, 정 그렇게 $0$과 덧셈까지 식에 포함하고 싶다면 $e^{\tau i}=1+0$을 쓰면 된다며 까칠하게 반응하기도 한다. 2.3 Euler's identity

Q.E.D. 증명종료에도 이 등식과 관련한 사건이 나오며, "인류의 수학사상 가장 아름다운 공식"이라 칭한다.

영화 박사가 사랑한 수식의 제목 역시 이 등식을 가리킨다.

니시오 이신도 모노가타리 시리즈에서 가장 아름다운 수식이라고 언급한 적이 있지만, 니시오 이신이 수학에 일가견이 있어서 그렇게 느끼는 건 절대 아니고, 그냥 남이 하는 얘기를 따라한 수준의 언급이다. 오와리모노가타리에서 등장하는데, 아라라기 코요미와 오이쿠라 소다치 사이의 뒤틀린 관계에 수학 및 수학 시험 성적이 주된 소재로 사용되기는 한다. 오이쿠라의 경우 아예 자칭 별명이 오일러.